Achieve significa tener éxito en alcanzar un objetivo en particular, meta o nivel, especialmente
haciendo un esfuerzo prolongado. Se puede traducir como alcanzar, conseguir o lograr.
He finally achieved success
Finalmente logró/consiguió el éxito.
Manage to significa lograr o conseguir (son sinónimos) en el sentido de salir airoso de alguna situación difícil o complicada.
They managed to find a place to stay
Ellos lograron encontrar un lugar para quedarse.
Reach significa alcanzar y llegar a (como sinónimo de arrive in/at).
They reached him just in time.
Le alcanzaron justo a tiempo.
to reach an agreement
llegar a un acuerdo